Question

已知双曲线C的中心为坐标原点O，焦点F₁、F₂在x轴上，点P在双曲线的左支上，点M在右准线上，且满足．
（Ⅰ）求双曲线C的离心率e；
（Ⅱ）若双曲线C过点Q（2，），B₁、B₂是双曲线虚轴的上、下端点，点A、B是双曲线上不同的两点，且，求直线AB的方程．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）设出双曲线的标准方程，表示出两焦点的坐标，根据判断出四边形OMPF₁为菱形进而根据定义求得=2a+||，根据|PM|=c求得a和c的关系，求得椭圆的离心率．
（Ⅱ）根据（1）可求得椭圆a和c的关系，把点Q代入双曲线方程求得a和b，则双曲线方程可得．根据推断出A、B₂、B三点共线．进而根据求得进而设出直线AB的方程，进而表示出直线B₁B的方程进而求得B点坐标代入双曲线方程求得k，则直线AB的方程可得．
解答：解：（Ⅰ）设双曲线C的方程为
∵
∴四边形OMPF₁为菱形
∴∴∴e=2
（Ⅱ）由（I）知e=2，∴c=2a，∴b²=c²-a²=3a²，
∴
∴∴
∵，∴A、B₂、B三点共线．∵
①当直线AB垂直x轴时，不合题意．
②当直线AB不垂直x轴时，由B₁（0，3），B₂（0，-3），
可设直线AB的方程为y=kx-3，①∴直线B₁B的方程为②
由①，②知，代入双曲线方程得，
故直线AB的方程为．
点评：本题主要考查了椭圆的简单性质，向量的基本运算等．设直线方程时一定要考虑直线的斜率是否存在．