Question

已知双曲线C的中心为坐标原点O，焦点F₁、F₂在x轴上，点P在双曲线的左支上，点M在右准线上，且满足

F1O

=

PM

，|

OF1

|=|

OM

|．
（Ⅰ）求双曲线C的离心率e；
（Ⅱ）若双曲线C过点Q（2，

3

），B₁、B₂是双曲线虚轴的上、下端点，点A、B是双曲线上不同的两点，且

B2A

=λ

B2B

，

B2A

⊥

B1B

，求直线AB的方程．

Answer 1

分析：（Ⅰ）设出双曲线的标准方程，表示出两焦点的坐标，根据

F1O

=

PM

判断出四边形OMPF₁为菱形进而根据定义求得|

PF2

|=2a+|

PF1

|，根据|PM|=c求得a和c的关系，求得椭圆的离心率．
（Ⅱ）根据（1）可求得椭圆a和c的关系，把点Q代入双曲线方程求得a和b，则双曲线方程可得．根据

B2A

=λ

B2B

推断出A、B₂、B三点共线．进而根据

B2A

⊥

B1B

求得

B2A

⊥

B1B

.进而设出直线AB的方程，进而表示出直线B₁B的方程进而求得B点坐标代入双曲线方程求得k，则直线AB的方程可得．

解答：解：（Ⅰ）设双曲线C的方程为

x2

a2

-

y2

b2

=1(a＞0，b＞0)，且F1(-c，0)，F2(c，0).
∵

F1O

=

PM

，|

OF1

|=|

OM

|
∴四边形OMPF₁为菱形
∴|

PF2

|=2a+|

PF1

|=2a+c，|PM|=c∴

2a+c

c

=e=

c

a

∴e=2
（Ⅱ）由（I）知e=2，∴c=2a，∴b²=c²-a²=3a²，
∴双曲线C的方程为

x2

a2

-

y2

3a2

=1又曲线C过点Q(2，

3

)
∴

4

a2

-

3

3a2

=1，a2=3，b2=9∴双曲线C的方程为

x2

3

-

y2

9

=1
∵

B2A

=λ

B2B

，∴A、B₂、B三点共线．∵

B2A

⊥

B1B

，∴∵

B2A

⊥

B1B

.
①当直线AB垂直x轴时，不合题意．
②当直线AB不垂直x轴时，由B₁（0，3），B₂（0，-3），
可设直线AB的方程为y=kx-3，①∴直线B₁B的方程为y=-

1

k

x+3.②
由①，②知B(

6k

k2+1

，

3k2-3

k2+1

)，代入双曲线方程得3×

36k2

(k2+1)2

-

9(k2-1)

(k2+1)2

=9，∴k4-6k2+1=0，解得k=±

2

±1，
故直线AB的方程为y=(±

2

±1)x-3．

点评：本题主要考查了椭圆的简单性质，向量的基本运算等．设直线方程时一定要考虑直线的斜率是否存在．