已知向量$\overrightarrow{a}$=(2cos$\frac{ωx}{2}$.$\sqrt{3}$).$\overrightarrow{b}$=(3cos$\frac{ωx}{2}$.sinωx).ω＞0.设函数f(x)=$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$-3的部分图象如图所示.A为图象的最低点.B.C为图象与x轴的� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

8．

已知向量$\overrightarrow{a}$=（2cos$\frac{ωx}{2}$，$\sqrt{3}$），$\overrightarrow{b}$=（3cos$\frac{ωx}{2}$，sinωx），ω＞0，设函数f（x）=$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$-3的部分图象如图所示，A为图象的最低点，B，C为图象与x轴的交点，且△ABC为等边三角形，其高为2$\sqrt{3}$．
（Ⅰ）求ω的值及函数f（x）的值域；
（Ⅱ）若f（x₀）=$\frac{8\sqrt{3}}{5}$，且x₀∈（-$\frac{10}{3}$，$\frac{2}{3}$ ），求f（x₀+1）的值．

分析（1）根据向量的数量积公式，结合二倍角公式和和差角公式，可将函数f（x）的解析式化为f（x）=2$\sqrt{3}$sin（ωx+$\frac{π}{3}$），根据△ABC的边长求出周期，进而可得ω的值，结合振幅可得函数f（x）的值域；
（Ⅱ）若f（x₀）=$\frac{8\sqrt{3}}{5}$，且x₀=∈（-$\frac{10}{3}$，$\frac{2}{3}$ ），代入可得（$\frac{π}{4}$x₀+$\frac{π}{3}$）的两弦值，结合和差角公式，可得答案．

解答解：（Ⅰ）∵向量$\overrightarrow{a}$=（2cos$\frac{ωx}{2}$，$\sqrt{3}$），$\overrightarrow{b}$=（3cos$\frac{ωx}{2}$，sinωx），
∴函数f（x）=$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$-3=6cos²$\frac{ωx}{2}$+$\sqrt{3}$sinωx-3=3cosωx+$\sqrt{3}$sinωx=2$\sqrt{3}$sin（ωx+$\frac{π}{3}$），
∵△ABC为等边三角形，其高为2$\sqrt{3}$，
∴BC=$\frac{T}{2}$=4，即T=8，
又∵ω＞0，
∴ω=$\frac{π}{4}$，
∴f（x）=2$\sqrt{3}$sin（$\frac{π}{4}$x+$\frac{π}{3}$），
其值域为：[-2$\sqrt{3}$，2$\sqrt{3}$]；
（Ⅱ）若f（x₀）=2$\sqrt{3}$sin（$\frac{π}{4}$x₀+$\frac{π}{3}$）=$\frac{8\sqrt{3}}{5}$，
∴sin（$\frac{π}{4}$x₀+$\frac{π}{3}$）=$\frac{4}{5}$，
∵x₀∈（-$\frac{10}{3}$，$\frac{2}{3}$ ），
∴$\frac{π}{4}$x₀+$\frac{π}{3}$∈（-$\frac{π}{2}$，$\frac{π}{2}$ ），
则cos（$\frac{π}{4}$x₀+$\frac{π}{3}$）=$\frac{3}{5}$，
∴f（x₀+1）=2$\sqrt{3}$sin[（$\frac{π}{4}$x₀+$\frac{π}{3}$）+$\frac{π}{4}$]=2$\sqrt{3}$[sin（$\frac{π}{4}$x₀+$\frac{π}{3}$）cos$\frac{π}{4}$+cos（$\frac{π}{4}$x₀+$\frac{π}{3}$）sin$\frac{π}{4}$]=2$\sqrt{3}$•（$\frac{4}{5}$+$\frac{3}{5}$）•$\frac{\sqrt{2}}{2}$=$\frac{7\sqrt{6}}{5}$