Question

设M（a,b）为二次曲线F（x,y）=0的内部的一个定点，经过点M的直线与二曲线交于A、B两点，使得M为AB弦的中点，则直线AB方程为F（2a－x,2b－x）－F(x,y)=0。

Answer 1

答案：
解析：

证明：设A、B两点坐标分别为A（x,y）、B（x1,y1）, 于是有 a=(x+x1),b=(y+y1), 即x1=2a－x,y1=2b－y。 ∵A（x,y）,B(2a－x,2b－y)在曲线上, ∴F(x,y)=0,                    ① F(2a－x,2b－y)=0。             ② 以上两式相减得 F（2a－x,2b－y）－F(x,y)=0  ③ ∵①、②两式的两个方程的二次项系数相同， ∴③一定是关于x、y的一次方程 又∵A、B两点坐标适合①、② ∴一定也适合③式 ∴AB的直线方程为 F（2a－x,2b－y）－F(x,y)=0。