Question

已知二次函数f（x）=ax²+bx+1是偶函数，且f（1）=0．
（1）求a，b的值
（2）设g（x）=f（x+2），若g（x）在区间[-2，m]的最小值为0，求实数m的值．

Answer 1

分析：（1）由题意可得函数的图象的对称轴为y轴，即-

b

2a

=0，由此求得b的值，再由f（1）=0，由此求得a的值．
（2）由g（x）=f（x+2），求得g（x）的解析式，可得g（x）在区间[-2，m]上是减函数，再由g（x）在区间[-2，m]的最小值为g（m）=-（m+2）²+1=0，求得m的值．

解答：解：（1）由二次函数f（x）=ax²+bx+1是偶函数，可得函数的对称轴为y轴，
即-

b

2a

=0，∴b=0，故f（x）=ax² +1．
再由f（1）=0，可得 a+1=0，故有 a=-1，故 f（x）=-x² +1．
综上，a=-1，b=0．
（2）设g（x）=f（x+2），则g（x）=-（x+2）²+1=-x²-4x-3，对称轴为x=-2．
g（x）在区间[-2，m]上是减函数，
故g（x）在区间[-2，m]的最小值为g（m）=-（m+2）²+1=0，
求得 m=-1，或 m=-3（舍去），
故m=-1．

点评：本题主要考查函数的奇偶性，求二次函数在闭区间上的最值，属于中档题．