Question

已知二次函数f（x）=x²-2（m-1）x+m²-2m-3，其中m为实数．
（1）求证：不论m取何实数，这个二次函数的图象与x轴必有两个交点；
（2）设这个二次函数的图象与x轴交于点A（x₁，0）、B（x₂，0），且x₁、x₂的倒数和为

2

3

，求这个二次函数的解析式．

Answer 1

分析：（1）写出与这个二次函数相对应的一元二次方程是x²-2（m-1）x+m²-2m-3=0，根据＞0，得到方程有两个不相等的实数根，得到这个二次函数的图象与x轴必有两个交点．
（2）根据一元二次方程根与系数的关系，确定x₁+x₂=2（m-1），x₁•x₂=m²-2m-3，把要求的代数式整理成只含有两个根之和与之积的形式，代入含有m的代数式，解关于m的方程即可．

解答：（1）证明：与这个二次函数相对应的一元二次方程是x²-2（m-1）x+m²-2m-3=0，
△=4（m-1）²-4（m²-2m-3）=16＞0，
所以，方程x²-2（m-1）x+m²-2m-3=0必有两个不相等的实数根，
所以，不论m取何实数，这个二次函数的图象与x轴必有两个交点．（6分）
（2）解：由题意，可知x₁、x₂是方程x²-2（m-1）x+m²-2m-3=0的两个实数根，
所以，x₁+x₂=2（m-1），x₁•x₂=m²-2m-3，
又

1

x1

+

1

x2

=

2

3

，即

x1+x2

x1•x2

=

2

3

，
所以，

2(m-1)

m2-2m-3

=

2

3

，解得m=0或m=5．
所以，所求二次函数的解析式为y=x²+2x-3或y=x²-8x+12．（12分）

点评：本题考查一元二次方程根与系数之间的关系，考查一元二次方程与二次函数之间的关系，本题解题的关键是掌握三个二次之间的关系，本题是一个中档题目．