Question

已知f（x）=a（|sinx|+|cosx|）+4sin2x+9，若．
（1）求a的值；
（2）求f（x）的最小正周期（不需证明）；
（3）是否存在正整数n，使得方程f（x）=0在区间[0，nπ]内恰有2011个根．若存在，求出n的值，若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）在f（x）=a（|sinx|+|cosx|）+4sin2x+9中，令，可解得 a的值．
（2）根据f（x+π）=f（x），得到f（x）的最小正周期为π．
（3）不存在n满足题意．当时，f（x）=-9（sinx+cosx）+4sin2x+9，设，由4t²-9t+5=0解得  ，或，或 ． 当时，同理可得f（x）在没有实根，故f（x）=0在[0，π）上有4根，而2011=4×502+3，而在[0，502π]有2009个根，在[0，503π]上有2013个根，得出结论．
解答：解：（1）令，得，得a=-9．
（2）解：
所以，f（x）的最小正周期为π．
（3）不存在n满足题意．  当时，f（x）=-9（sinx+cosx）+4sin2x+9．
设，则sin2x=2sinxcosx=t²-1，
于是f（x）=-9（sinx+cosx）+4sin2x+9=4t²-9t+5，令4t²-9t+5=0，得，
于是，或或，其中，
当时，f（x）=-9（sinx-cosx）+4sin2x+9．
设，则sin2x=2sinxcosx=1-t²，
于是f（x）=-9（sinx-cosx）+4sin2x+9=-4t²-9t+13，令-4t²-9t+13=0，
解得t=1或，故f（x）在没有实根．
综上讨论可得，f（x）=0在[0，π）上有4根，而2011=4×502+3，而在[0，502π]有2009个根，在[0，503π]上有2013个根，
故不存在n，使得f（x）=0在区间[0，nπ]内恰有2011个根．
点评：本题考查三角函数的周期性及其求法，根据三角函数的值求教的大小，判断f（x）=0在[0，π）上有4根，是解题的关键．