题目内容

已知f（x）=a•3x+b•5x，其中a，b∈R且ab≠0．
（1）若a＞0，b＜0，求使f（x+1）＞f（x）成立的x的取值范围；
（2）若a=1，讨论f（x）的单调性．
分析：（1）若a＞0，b＜0，由f（x+1）＞f（x）可得 (
5
3
)x＜-
a
2b
，由此解得x的范围．
（2）若a=1，f（x）=3x+b•5x，当b＞0时，函数f（x）在R上是增函数．当b＜0时，根据f′（x）＞0求得x的范围，可得函数的增区间；再根据f′（x）＜0，解得x的范围，可得函数的减区间．
解答：解：（1）若a＞0，b＜0，由f（x+1）＞f（x）可得a•3x+1+b•5x+1＞a•3x+b•5x，
即 (
5
3
)x＜-
a
2b
，x＜log
5
3
(-
a
2b
)．
（2）若a=1，f（x）=3x+b•5x．
当b＞0时，函数f（x）在R上是增函数．
当b＜0时，令f′（x）＞0可得 (
5
3
)x＜-
ln3
bln5
，解得x＜log
5
3
(-
ln3
b•ln5
)．
令f′（x）＜0可得 (
5
3
)x＞-
ln3
bln5
，解得x＞log
5
3
(-
ln3
b•ln5
)．
故函数f（x）在（-∞，log
5
3
(-
ln3
b•ln5
) ）上是增函数，在（log
5
3
(-
ln3
b•ln5
)，+∞）上是减函数．
点评：本题主要考查指数不等式、对数不等式的解法，利用导数研究函数的单调性，属于中档题．
练习册系列答案
相关题目
已知平面向量
a
=（
3
，-1），
b
=（sinx，cosx）
（1）若已知
a
⊥
b
，求tanx的值
（2）若已知f（x）=
a
•
b
，求f（x）的最大值及取得最大值的x的取值集合．
已知f（x）=2x+3，g（x+2）=f（x），则g（x）等于（　　）
已知向量
p
=(x，a-3)，
q
=(x，x+a)，f(x)=
p
•
q
．
（Ⅰ）若方程f（x）=0在区间（1，+∞）上有两实根，求实数a的取值范围；
（Ⅱ）设实数m、n、r满足：m、n、r中的某一个数恰好等于a，且另两个恰为方程f（x）=0的两实根，判断①m+n+r，②m2+n2+r2，③m3+n3+r3是否为定值？若是定值请求出；若不是定值，请把不是定值的表示为函数g（a），并求g（a）的最小值；
（Ⅲ）给定函数h（x）=bx+1（b＞0），若对任意的x0∈[2，3]，总存在x1∈[1，2]，使得g（x0）=h（x1），求实数b的取值范围．
已知f（x）=mx2+3（m-4）x-9（m∈R）．
（1）试判断函数f（x）的零点的个数；
（2）若函数f（x）有两个零点x1，x2，求d=|x1-x2|的最小值；
（3）若m=1，且不等式f（x）-a＞0对x∈[0，2]恒成立，求实数a的取值范围．
（2013•潍坊一模）已知f（x）=a（x+2a）（x-a-3），g（x）=2-x-2，同时满足以下两个条件：
①?x∈R，f（x）＜0或g（x）＜0；
②?x∈（1，+∞），f（x）•g（x）＜0成立，
则实数a的取值范围是（　　）

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