Question

4．如图，矩形CDEF和梯形ABCD互相垂直，∠BAD=∠ADC=90°，AB=AD=$\frac{1}{2}$CD，BE⊥DF．
（1）若M为EA的中点，求证：AC∥平面MDF；
（2）求平面EAD与平面EBC所成的锐二面角的大小．

Answer 1

分析 （1）设EC与DF交于点N，连结MN，则MN∥AC，由此能证明AC∥平面MDF．
（2）以D为坐标原点，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出平面EAD与EBC所成锐二面角的大小．

解答 证明：（1）设EC与DF交于点N，连结MN，
在矩形CDEF中，点N为EC中点，因为M为EA中点，所以MN∥AC，
又因为AC?平面MDF，MN?平面MDF，
所以AC∥平面MDF．-----（4分）
解：（2）因为平面CDEF⊥平面ABCD，平面CDEF∩平面ABCD=CD，
DE?平面CDEF，DE⊥CD，
所以DE⊥平面ABCD，------（6分）
以D为坐标原点，建立如图空间直角坐标系，
设DA=a，DE=b，B（a，a，0），E（0，0，b），C（0，2a，0），F（0，2a，b），
$\overrightarrow{BE}=（-a，-a，b），\overrightarrow{DF}=（0，2a，b），\overrightarrow{BC}=（-a，a，0）$，
因为BE⊥DF，
所以$\overrightarrow{BE}•\overrightarrow{DF}═（-a，-a，b）•（0，2a，b）={b^2}-2{a^2}=0$，$b=\sqrt{2}a$，--（8分）
设平面EBC的法向量$\overrightarrow m=（x，y，z）$，
由$\left\{\begin{array}{l}\overrightarrow m•\overrightarrow{BE}=-ax-ay+\sqrt{2}az=0\\ \overrightarrow m•\overrightarrow{BC}=-ax+ay\end{array}\right.$，取a=1，得$\overrightarrow m=（1，1，\sqrt{2}）$，
平面EAD的法向量$\overrightarrow n=（0，1，0）$，--（10分）
而$cos＜\overrightarrow m，\overrightarrow n＞=\frac{\overrightarrow m•\overrightarrow n}{|\overrightarrow m|•|\overrightarrow n|}=\frac{1}{2}$，
所以，平面EAD与EBC所成锐二面角的大小为60°．（12分）

点评 本题考查线面垂直的证明，考查二面角的大小的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．