题目内容
9．已知实数a＞0，函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{2{x}^{2}-4ax，x≥0}\\{-2{x}^{2}-3ax，x＜0}\end{array}\right.$（1）若a=2，求函数f（x）在区间[-2，3]上的值域；
（2）设s1，s2，t1，t2∈R，s1＜t1，s2＜t2，若当且仅当实数m∈[s1，t1）∪（s2，t2]时，关于x的方程f（x）=m在[-2，2]上有唯一解，求t1+t2+s1+s2的取值范围．
分析 （1）若a=2，求出函数的解析式，结合一元二次函数的单调性的性质即可求函数f（x）在区间[-2，3]上的值域；
（2）根据条件结合函数与方程之间的关系确定t1，t2，s1，s2与a的关系进行求解即可．
解答 解：（1）当a=2时，f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{2{x}^{2}-8x}&{x≥0}\\{-2{x}^{2}-6x}&{x＜0}\end{array}\right.$在区间[-2，-$\frac{3}{2}$]上为增函数，在区间[-$\frac{3}{2}$，2]]上为减函数，在区间[2，3]上为增函数．
∵f（-2）=4，f（-$\frac{3}{2}$）=$\frac{9}{2}$，f（2）=-8，f（3）=-6，
∴f（x）max=$\frac{9}{2}$，f（x）min=-8，
故函数f（x）在区间[-2，3]上的值域为[-8，$\frac{9}{2}$]．
（2）当a＞0时，函数f（x）在（-∞，-$\frac{3a}{4}$]上为增函数，[-$\frac{3a}{4}$，a]上为减函数，[a，+∞）上为增函数，
令-2x2-3ax=f（a）=-2a2，得x=$\frac{a}{2}$，或x=-2a，
故f（-2a）=f（a）=-2a2．
令2x2-4ax=f（-$\frac{3a}{4}$）=$\frac{9}{8}$a2，得x=$\frac{9}{4}$a，或x=-$\frac{1}{4}$a，
故f（$\frac{9}{4}$a）=f（-$\frac{3a}{4}$）=$\frac{9}{8}$a2．
若关于x的方程f（x）=m在[-2，2]上有唯一解时，
实数m的取值范围是m∈[s1，t1）∪（s2，t2]时，
则有$\left\{\begin{array}{l}{-2＜-2a}\\{2＞\frac{9}{4}a}\end{array}\right.$，即0＜a＜$\frac{8}{9}$，此时t1=f（a）=-2a2，s1=f（-2）=-8+6a，t2=f（2）=8-8a，s2=f（-$\frac{3a}{4}$）=$\frac{9}{8}$a2．
故t1+t2+s1+s2=-$\frac{7}{8}{a}^{2}-2a$，
又0＜a＜$\frac{8}{9}$，
故t1+t2+s1+s2∈（-$\frac{200}{81}$，0）．
点评 本题主要考查分段函数的应用，根据一元二次函数的图象和性质，利用分类讨论的数学进行求解，综合性较强，难度较大．
| A． | 6种 | B． | 24种 | C． | 60种 | D． | 120种 |
如图，矩形CDEF和梯形ABCD互相垂直，∠BAD=∠ADC=90°，AB=AD=$\frac{1}{2}$CD，BE⊥DF．
| A． | $\frac{27}{25}$ | B． | $\frac{1}{2}$ | C． | $\frac{5}{9}$ | D． | $\frac{1}{3}$ |
