Question

如图所示，直线l与抛物线y²＝x交于A(x₁，y₁)，B(x₂，y₂)两点，与x轴交于点M，且y₁y₂＝－1，

(1)求证：M点坐标是(1，0)；

(2)求证：OA⊥OB；

(3)求△AOB的面积最小值．

Answer 1

答案：
解析：

(1)设M(x0，0)，直线l方程为x＝my＋x0代入y2＝x得 　　y2－my－x0＝0，y1y2是此方程的两根 　　∴x0＝－y1y2＝1　　① 　　即M点坐标是(1，0) 　　(2)∵y1y2＝－1 　　∴x1x2＋y1y2＝y1y2(y1y2＋1)＝0， 　　∴OA⊥OB 　　(3)由方程①得y1＋y2＝m，y1y2＝－1，又|OM|＝x0＝1， 　　， 　　∴当m＝0时，S△AOB取最小值1．