Question

（13分）点P为圆上一个动点，M为点P在y轴上的投影，动点Q满足．
（1）求动点Q的轨迹C的方程；
（2）一条直线l过点，交曲线C于A、B两点，且A、B同在以点D（0，1）为圆心的圆上，求直线l的方程。

Answer 1

（1）.（2）.

试题分析：（1）变形得，即P点为M和Q的中点，设动点Q的坐标为（x,y），利用“代入法”即得所求轨迹方程.
（2）首先考虑直线l的斜率不存在的情况，不符合题意；
设直线l的斜率为k,则直线方程为，与椭圆方程联立，应用韦达定理得：

从而得到弦AB的中点 N点坐标为，
由，可得的方程，求，求得直线l的方程.
试题解析：（1）变形得，即P点为M和Q的中点，设动点Q的坐标为（x,y），则P点坐标为，将其代入到圆的方程中，得，即为所求轨迹方程。
（2）当直线l的斜率不存在时，显然不符合条件；
设直线l的斜率为k,则直线方程为，将其代入到椭圆方程中并整理得

设，则由韦达定理得：

设弦AB中点为N，则N点坐标为，
由题意得，即
所以，解得，所以所求直线l的方程为.