Question

如图，在正三棱柱ABC－A₁B₁C₁中，点D在边BC上，AD⊥C₁D．

(1)求证：AD⊥平面BCC₁B₁；

(2)设E是B₁C₁上的一点，当的值为多少时，A₁E∥平面ADC₁？请给出证明．

Answer 1

答案：
解析：

解：(1)在正三棱柱中，CC1⊥平面ABC，AD平面ABC， 　　∴AD⊥CC1　　2分 　　又AD⊥C1D，CC1交C1D于C1，且CC1和C1D都在面BCC1B1内， 　　∴AD⊥面BCC1B1　　5分 　　(2)由(1)，得AD⊥BC．在正三角形ABC中，D是BC的中点　　7分 　　当＝1，即E为B1C1的中点时，A1E∥平面ADC1　　8分 　　事实上，正三棱柱ABC－A1B1C1中，四边形BCC1B1是矩形，且D、E分别是BC、B1C1的中点，所以B1B∥DE，B1B＝DE　　10分 　　又B1B∥AA1，且B1B＝AA1， 　　∴DE∥AA1，且DE＝AA1　　13分 　　所以四边形ADEA1为平行四边形，所以EA1∥AD． 　　而EA1面ADC1内，故A1E∥平面ADC1　　15分