Question

4．已知奇函数f（x）=$\frac{x+n}{{x}^{2}+m}$的定义域为R，f（2）=$\frac{2}{5}$．
（1）求实数m，n的值；
（2）若g（x）=log₂x-f（x），求证函数g（x）在（0，+∞）上有零点．

Answer 1

分析 （1）由题意得$\left\{\begin{array}{l}{f（0）=\frac{n}{m}=0}\\{f（2）=\frac{2+n}{4+m}=\frac{2}{5}}\end{array}\right.$，从而解得．
（2）可判断g（x）=log₂x-$\frac{x}{{x}^{2}+1}$在（0，+∞）上连续，再由g（1）=0-$\frac{1}{2}$＜0，g（4）=2-$\frac{4}{17}$＞0作出判断．

解答 解：（1）由题意得，$\left\{\begin{array}{l}{f（0）=\frac{n}{m}=0}\\{f（2）=\frac{2+n}{4+m}=\frac{2}{5}}\end{array}\right.$，
解得，n=0，m=1；
（2）证明：g（x）=log₂x-$\frac{x}{{x}^{2}+1}$在（0，+∞）上连续，
g（1）=0-$\frac{1}{2}$＜0，g（4）=2-$\frac{4}{17}$＞0；
∴g（1）•g（4）＜0，
∴函数g（x）在（0，+∞）上有零点．

点评 本题考查了函数的奇偶性的应用及函数的零点的判断．