Question

如图，在四棱锥P-ABCD中，ABCD是正方形，PD⊥平面ABCD，PD=AB=2，E，F，G分别是PC，PD，BC的中点．
（1）求证：平面PAB∥平面EFG；
（2）在线段PB上确定一点Q，使PC⊥平面ADQ，并给出证明．

Answer 1

分析：（1）利用三角形中位线定理和正方形的性质证出EF∥AB，根据线面平行的判定定理证出EF∥平面PAB，同理证出EG∥平面PAB，再根据面面平行判定定理，即可证出平面PAB∥平面EFG；
（2）取PB中点Q，连结DE、EQ、AQ．由线面垂直的判定与性质，结合已知条件证出AD⊥平面PDC，从而得到AD⊥PC，再由等腰直角△PCD中DE是斜边的中线，证出DE⊥PC，利用线面垂直判定定理，可得PC⊥平面ADQ．由此得到存在Q为线段PB中点时，PC⊥平面ADQ．

解答：解：（1）∵△PCD中，E、F分别是线段PC、PD的中点，∴EF∥CD，
又∵四边形ABCD为正方形，得AB∥CD，∴EF∥AB，
∵EF?平面PAB，AB?平面PAB，∴EF∥平面PAB．
同理可证：EG∥平面PAB，
∵EF、EG是平面EFG内的相交直线，∴平面PAB∥平面EFG；
（2）Q为线段PB中点时，PC⊥平面ADQ．证明如下
取PB中点Q，连结DE、EQ、AQ，
由于EQ∥BC∥AD，且AD、QE不相等，所以ADEQ为梯形，
由PD⊥平面ABCD，AD?平面ABCD，得AD⊥PD，
∵AD⊥CD，PD∩CD=D，∴AD⊥平面PDC，
∵PC?平面PDC，∴AD⊥PC，
∵△PDC为等腰直角三角形，E为斜边中点，∴DE⊥PC，
∵AD、DE是平面ADQ内的相交直线，∴PC⊥平面ADQ．

点评：本题在特殊的四棱锥中证明线面垂直和面面平行，着重考查了空间平行、垂直的位置关系的判断与证明等知识，属于中档题．