Question

1．如图，四棱锥P-ABCD中，底面四边形ABCD是正方形，侧面PDC是边长为a的正三角形，且平面PDC⊥底面ABCD，E为PC的中点．
（1）求异面直线PA与DE所成的角的余弦值；
（2）求点D到面PAB的距离．

Answer 1

分析 （1）连结AC，BD交于点O，连结EO．由四边形ABCD为正方形，且AO=CO，PE=EC，可得PA∥EO，从而得到∠DEO为异面直线PA与DE所成的角，然后通过求解直角三角形求解；
（2）取DC的中点M，AB的中点N，连PM、MN、PN，由线面平行的判断得到DC∥面PAB，可得D到面PAB的距离等于点M到面PAB的距离，过M作MH⊥PN于H，由线面垂直的性质可得PM⊥DC，进一步得到PM⊥面ABCD，即PM⊥AB，然后推得MH⊥面PAB，则MH就是点D到面PAB的距离，然后求解直角三角形得答案．

解答 解（1）连结AC，BD交于点O，连结EO．
∵四边形ABCD为正方形，∴AO=CO，又∵PE=EC，∴PA∥EO，
∴∠DEO为异面直线PA与DE所成的角，
∵面PCD⊥面ABCD，AD⊥CD，∴AD⊥面PCD，∴AD⊥PD．
在Rt△PAD中，PD=AD=a，则PA=$\sqrt{2}a$，
∴$EO=\frac{1}{2}PA=\frac{\sqrt{2}}{2}a$，
又∵DE=$\frac{\sqrt{3}}{2}，DO=\frac{\sqrt{2}}{2}a$，
∴$cos∠DEO=\frac{\frac{3}{4}{a}^{2}+\frac{1}{2}{a}^{2}-\frac{1}{2}{a}^{2}}{2×\frac{\sqrt{3}}{2}a×\frac{\sqrt{2}}{2}a}=\frac{\sqrt{6}}{4}$；
（2）取DC的中点M，AB的中点N，连PM、MN、PN．
∵DC∥AB，DC?面PAB，∴DC∥面PAB，
∴D到面PAB的距离等于点M到面PAB的距离．
过M作MH⊥PN于H，
∵面PDC⊥面ABCD，PM⊥DC，
∴PM⊥面ABCD，∴PM⊥AB，
又∵AB⊥MN，PM∩MN=M，
∴AB⊥面PMN．∴面PAB⊥面PMN，
∴MH⊥面PAB，
则MH就是点D到面PAB的距离．
在Rt△PMN中，MN=a，PM=$\frac{\sqrt{3}}{2}a$，
∴$PN=\sqrt{{a}^{2}+（\frac{\sqrt{3}}{2}a）^{2}}=\frac{\sqrt{7}}{2}a$，
∴$MH=\frac{MN•PM}{PN}=\frac{a•\frac{\sqrt{3}}{2}a}{\frac{\sqrt{7}}{2}a}=\frac{\sqrt{21}a}{7}$．

点评 本题考查空间异面直线所成角，考查了线面角，考查空间想象能力和计算能力，是中档题．