Question

已知数列{a_n}满足Sn=n2an（n∈N^*），其中S_n是{a_n}的前n项和，且a₁=1，求
（1）求a_n的表达式； 
（2）求S_n．

Answer 1

分析：（1）由Sn=n2an（n∈N^*），得Sn-1=(n-1)2an-1（n≥2），两式相减，整理后利用累乘法可求得a_n；
（2）对a_n拆项后利用裂项相消法即可求得S_n；

解答：解：（1）由Sn=n2an（n∈N^*），得Sn-1=(n-1)2an-1（n≥2），
两式相减，得an=n2an-(n-1)2an-1，整理得

an

an-1

=

n-1

n+1

（n≥2），
∴n≥2时，an=a1×

a2

a1

×

a3

a2

×…×

an

an-1

=1×

1

3

×

2

4

×

3

5

×…×

n-1

n+1

=

2

n(n+1)

，
又a₁=1适合上式，
∴an=

2

n(n+1)

；
（2）由（1）知，an=

2

n(n+1)

=2（

1

n

-

1

n+1

），
∴S_n=2（1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+…+

1

n

-

1

n+1

）=2（1-

1

n+1

）=

2n

n+1

．

点评：本题考查由数列递推式求数列通项、数列求和，属中档题，累乘法是求数列通项的常用方法，而裂项相消法对数列求和则是高考考查的重点内容，要熟练掌握．