Question

【题目】已知实数x、y满足 ，目标函数z=x+ay．
（1）当a=﹣2时，求目标函数z的取值范围；
（2）若使目标函数取得最小值的最优解有无数个，求 的最大值．

Answer 1

【答案】
（1）解：当a=﹣2时，z=x﹣2y，由z=x﹣2y得y= ，

作出不等式组对应的平面区域如图（阴影部分ABC）：

平移直线y= ，

由图象可知当直线y= ，过点C时，直线y= 的截距最大，此时z最小，

由 ，解得 ，即C（4，2）．此时z=4﹣2×2=4﹣4=0，

当直线与x﹣2y﹣2=0重合时，直线y= 的截距最小，此时z最大，

此时z=2，即0≤z≤2

（2）解：若a＞0，由题意知最优解应该在线段BC上取得，但此时取到的最大值不满足条件．

当a=0，不满足条件．

若a＜0，最优解应该在线段AC上取得，故直线x+ay=0与AC平行，

则kAC=1=﹣ ，得a=﹣1．

= 的几何意义是区域内的点到点D（﹣1，0）的斜率，

由图象知当点与C（4，2）重合时， 取得最大值 ．

【解析】（1）当a=﹣2时，z=x﹣2y，由z=x﹣2y得y= ，平移直线进行求解即可．（2）根据目标函数取得最小值的最优解有无数个，求出a=﹣1，利用直线斜率的几何意义进行求解即可．