题目内容
【题目】已知数列{bn}是等差数列，b1=1，b1+b2+…+b10=100．
（1）求数列{bn}的通项bn；
（2）设数列{an}的通项an=loga（1+ 
），a＞0，且a≠1，记Sn是数列{an}的前n项的和．试比较Sn与 
logabn+1的大小，并证明你的结论．
【答案】
（1）解：设数列{bn}的公差为d，由题意得：b1=1，
10b1+ 
=100．
解得 
，
∴bn=1+2（n1﹣）=2n﹣1．
（2）解：an=loga（1+ 
）= 
= 
，a＞0，且a≠1，
Sn=loga（1+1）+ 
+…+
= 
．
logabn+1= 
= 
．
可先比较（1+1）（1+ 
）…（1+ 
）与 
的大小．
取n=1，有（1+1）＞ 
；
取n=2，有（1+1）（1+ ）＞ ．
由此推测：（1+1）（1+ ）…（1+ ）＞ …①
下面用数学归纳法证明①式：
（i）当n=1时，已验证①式成立．
（ii）假设当n=k （k≥1）时，①式成立，即
（1+1）（1+ ）…（1+ 
）＞ 
，
那么，当n=k+1时，（1+1）（1+ ）…（1+ 
）（1+ 
）
＞ （1+ 
）= 
（2k+2）
∵[ （2k+2）]2﹣[ 
]2
= 
= ＞0，
∴ （2k+2）＞ = 
因而 （1+1）（1+ ）…（1+ ）（1+ ）＞ ．
这就是说①式，当n=k+1时也成立．
由（i），（ii）知，①式对任何正整数n都成立．
利用函数y=logax的单调性，得结论：
当a＞1时，Sn＞ logabn+1；
当0＜a＜1时，Sn＜ logabn+1．
或利用 
= 
＞ 
，证明 
… 
＞ ，即可证明．
【解析】（1）利用等差数列的通项公式及其前n项和公式即可得出；（2）an=loga（1+ ）= 
= ，a＞0，且a≠1，Sn= ． logabn+1= ．可先比较（1+1）（1+ ）…（1+ ）与 的大小．猜想：（1+1）（1+ ）…（1+ ）＞ ，利用数学归纳法证明即可得出．
【考点精析】根据题目的已知条件，利用等差数列的通项公式（及其变式）和数列的前n项和的相关知识可以得到问题的答案，需要掌握通项公式：
或
；数列{an}的前n项和sn与通项an的关系
．
