Question

已知tan(α+β)=

2

5

，tan(β-

π

4

)=

1

4

，则

cosα+sinα

cosα-sinα

的值为

3

22

．

Answer 1

分析：由α+

π

4

=（α+β）-（β-

π

4

），两边分别利用两角和与差的正切函数公式化简，把已知的tan（α+β）及tan（β-

π

4

）的值代入，可求出tan[（α+β）-（β-

π

4

）]的值，即为tan（α+

π

4

）=

tanα+1

1-tanα

的值，最后把所求式子的分子分母同时除以cosα，利用同角三角函数间的基本关系弦化切后，将

tanα+1

1-tanα

整体代入即可求出值．

解答：解：∵tan(α+β)=

2

5

，tan(β-

π

4

)=

1

4

，
∴tan（α+

π

4

）=tan[（α+β）-（β-

π

4

）]
而tan（α+

π

4

）═

tanα+1

1-tanα

，tan[（α+β）-（β-

π

4

）]=

2 5 - 1 4

1+ 2 5 × 1 4

=

3

22

，
即

tanα+1

1-tanα

=

3

22

，
则

cosα+sinα

cosα-sinα

=

tanα+1

1-tanα

=

3

22

．
故答案为：

3

22

点评：此题考查了两角和与差的正切函数公式，同角三角函数间的基本关系，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握公式，灵活变换角度是解本题的关键．