Question

已知向量

a

=（cosα，sinα），向量

b

=（cosβ，sinβ），|

a

-

b

|=

2 3

3

．
（1）求cos（α-β）的值；
（2）若0＜α＜

π

2

，-

π

2

＜β＜0，且cosβ=

5

13

，求sinα的值．

Answer 1

分析：（1）由已知中向量

a

=（cosα，sinα），向量

b

=（cosβ，sinβ），可得cos（α-β）=

a

•

b

，我们可以先求出向量|

a

|=|

b

|=1，再由|

a

-

b

|=

2 3

3

，我们可以求出

a

•

b

的值．
（2）由已知中0＜α＜

π

2

，-

π

2

＜β＜0，且cosβ=

5

13

，结合（1）中结论，我们可以求出sin（α-β）的值，及sinβ值，代入sinα=sin[（α-β）+β]=sin（α-β）•cosβ+cos（α-β）•sinβ即可得到答案．

解答：解：（1）∵向量

a

=（cosα，sinα），向量

b

=（cosβ，sinβ），
∴|

a

|=|

b

|=1，
又∵|

a

-

b

|=

2 3

3

．
∴|

a

-

b

|²=

4

3

=|

a

|²+|

b

|²-2

a

•

b

∴

a

•

b

=cos（α-β）=

1

3

（2）∵0＜α＜

π

2

，-

π

2

＜β＜0，
∴0＜α-β＜π
由（1）中cos（α-β）=

1

3

，得sin（α-β）=

2 2

3

∵cosβ=

5

13

，∴sinβ=-

12

13

∴sinα=sin[（α-β）+β]
=sin（α-β）•cosβ+cos（α-β）•sinβ
=

10 2 -12

39

点评：本题考查的知识点是平面向量的模，平面向量的数量积，三角函数给值求值问题，是平面向量与三角函数的综合应用，其中（1）的关键是根据平面向量的数量积公式得到

a

•

b

=cos（α-β），（2）的关键是分析出sinα=sin[（α-β）+β]，将问题转化为求两角和的正弦值问题．