Question

对于定义域为的函数，如果存在区间，同时满足：
①在内是单调函数；②当定义域是，值域也是，则称是函数
的“好区间”.
（1）设（其中且），判断是否存在“好区间”，并
说明理由；
（2）已知函数有“好区间”，当变化时，求的最大值.

Answer 1

（1）不存在“好区间”；（2）的最大值为.

试题分析：（1）先求出的定义域.可知要对分情况讨论，当时，定义域，在内是增函数；当时，定义域，在内还是增函数.从而得出，即方程在定义域内有两个不等的实数根，即在定义域内有两个不等的实数根.再用换元法，设，则相当于两个不等的实数根，即在内有两个不等的实数根,通过研究二次函数，发现在内有两个不等的实数根无解，所以函数不存在“好区间”；（2）函数有“好区间”，由于定义域为，或，易知函数在上单调递增，，所以是方程，即方程有同号的相异实数根，然后再用判别式求出的范围，再用韦达定理用表示出，结合的范围即可求出的最大值.
试题解析：（1）由.              2分
①当时，，此时定义域，，，
，，，
，，
，
在内是增函数；              4分
②当时，，此时定义域，
同理可证在内是增函数；              6分
存在“好区间”，
关于的方程在定义域内有两个不等的实数根.
即在定义域内有两个不等的实数根.(*)
设，则(*)，
即在内有两个不等的实数根，
设，则无解.
所以函数不存在“好区间”.               8分
（2）由题设，函数有“好区间”，
或，函数在上单调递增，
，所以是方程，即方程有同号的相异实数根. 12分
，同号，或.
,.
当，取得最大值.              16分