Question

如图，已知四棱锥，，，
平面，∥，为的中点．

（1）求证：∥平面；
（2）求证：平面平面；
（3）求四棱锥的体积．

Answer 1

（1）详见解析；（2）详见解析；（3）

试题分析：（1）线面平行判定定理，关键找线线平行.本题利用平行四边形找平行，取中点，则易得；所以四边形为平行四边形，即得应用定理证明时，需写出定理所需条件.（2）证明面面垂直，关键证线面垂直.分析条件知，须证平面，由（1）知，只需证平面.因为为等边三角形，为的中点 ，所以；又可由平面得，这样就可由线面垂直判定定理得到平面.（3）求三棱锥体积，关键找出高线或平面的垂线.利用面面垂直可找出面的垂线.因为平面，所以面平面，过A作两平面交线的垂线，则有平面.因为为等边三角形，所以为中点.
试题解析：

解：（1）取中点，连结，，
分别是，的中点，
∥，且.
∥，              2分
与平行且相等.
四边形为平行四边形，
∥.               3分
又平面，平面.
∥平面.                                      4分
（2）为等边三角形，为的中点，
.                                          5分
又平面，平面.
，                                         6分
又，
平面.                                    7分
∥，平面，                       8分
平面，
平面平面.                             10分
（3）取中点,连结.
,
.
平面，平面
，
又，
平面，
是四棱锥的高，且，           12分
.           14分