Question

如图，在三棱柱中，，顶点在底面上的射影恰为点，．
（1）证明：平面平面；
（2 ）若点为的中点，求出二面角的余弦值．

（1）证明：平面平面；
（2）若点为的中点，求出二面角的余弦值．

Answer 1

（1）证明详见解析；（2）

试题分析：（1）根据直线与平面垂直的性质可得,而已知，由直线与平面垂直的判定定理可得面，根据平面与平面垂直的判定定理可得平面平面；
(2) 过P做PP₁//A₁B₁交A₁C₁的中点于P₁,由（1）可知P₁A₁,连接P₁B,则为二面角的平面角， 解可得cos的值.
试题解析：证明：（1）由题意得：面，
∴,                2分
又，
∴面，                                  3分
∵面， ∴平面平面；         5分
（2）解法1：以A为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，
则

因为P为棱的中点，故易求得．              6分

设平面的法向量为
则得 
令，则              8分
而平面的法向量         9分
则            11分
由图可知二面角为锐角，
故二面角的平面角的余弦值是 .     12分
解法2：过P做PP₁//A₁B₁交A₁C₁的中点于P₁,由（1）可知P₁A₁,连接P₁B,则为二面角的平面角，               8分
 
在中，，，
故二面角的平面角的余弦值是     12分