Question

若抛物线y²=ax（a＞0）上存在两点M，N关于直线y=x-2对称，则a的取值范围是（　　）

• A、0＜a＜

  10

  3

• B、0＜a＜

  8

  3

• C、0＜a＜2
• D、0＜a＜

  4

  3

Answer 1

考点：椭圆的简单性质

专题：计算题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：设出M，N两点的坐标，因为M，N在抛物线上，把两点的坐标代入抛物线方程，作差后求出MN中点的纵坐标，又MN的中点在直线y=x-2上，代入后求其横坐标，然后由MN中点在抛物线内部列不等式求得实数a的取值范围．

解答： 解：设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），
因为两点M，N关于直线y=x-2对称，所以k_MN=-1，
因为点M和N在抛物线上，所以有y₁²=ax₁①y₂²=ax₂②
①-②整理得y₁+y₂=-a．
设MN的中点为A（x₀，y₀），则y₀=-

a

2

．
又A在直线x-y-2=0上，所以x₀=-

a

2

+2．
则A（-

a

2

+2，-

a

2

）．
因为A在抛物线内部，所以（-

a

2

）²-a（-

a

2

+2）＜0
解得0＜a＜

8

3

．
故选：B．

点评：本题考查了直线与圆锥曲线的位置关系，考查了点差法，是解决与弦中点有关问题的常用方法，解答的关键是由AB中点在抛物线内部得到关于a的不等式，是中档题．