Question

已知复数z=

1+i

1-i

+(1-i)2(i是虚数单位），b是z的虚部，且函数f（x）=log_a（2x²-bx）（a＞0且a≠1）在区间(0，

1

2

)内f(x)＞0恒成立，则函数f（x）的递增区间是

 

．

Answer 1

分析：求出z，得出虚部为-1，即b=-1，由x的范围求出真数部分的范围，结合f（x）＞0，得出0＜a＜1，由复合函数的单调性，求内层函数的减区间，与真数部分大于0的x的取值范围取交集，得要求的区间．

解答：解：∵z=

(1+i)2

(1-i)(1+i)

+（-2i）=i-2i=-i，∴b=-1，
∴f（x）=log_a（2x²+x）=loga[2(x+

1

4

)2-

1

8

]，
∵x∈（0，

1

2

），∴x+

1

4

∈（

1

4

，

3

4

），∴(x+

1

4

)2∈（

1

16

，

9

16

），
∴2(x+

1

4

)2-

1

8

∈（0，1），又∵f（x）＞0，∴0＜a＜1，
∵y=2x²+x的减区间为（-∞，-

1

4

]，又2x²+x＞0得x＜-

1

2

或x＞0，
∴函数f（x）的递增区间是（-∞，-

1

2

）．
故答案为（-∞，-

1

2

）．

点评：本题涉及的知识点有，虚数的运算，复合函数单调性的判断方法，同增异减，本题注意对数形式的真数部分要大于0，难点要根据自变量的范围确定出真数部分的范围，进而判断a的范围，判断出外层函数的增减性．