Question

【题目】已知（），，且直线与曲线相切.

（1）求的值；

（2）若对内的一切实数，不等式恒成立，求实数的取值范围；

（3）求证： （）.

Answer 1

【答案】（1）（2）（3）见解析

【解析】试题分析：

(1) 设点为切点，列出方程求解可得， .

(2)不等式即： ，

， 必须恒成立.

设，由是增函数， ， .

因此，实数的取值范围是.

(3) 结合前面的结论，当， 时， ，得 ，化简得 ， .即可证得结论.

试题解析：

解：（1）设点为直线与曲线的切点，则有

.（*）

， .（**）

由（*）、（**）两式，解得， .

（2）由整理，得，

， 要使不等式恒成立，必须恒成立.

设， ，

， 当时， ，则是增函数，

， 是增函数， ， .

因此，实数的取值范围是.

（3）证明：当时，根据（1）的推导有， 时， ，

即.令，得 ，

化简得 ，