Question

【题目】已知函数．

（1）若，求函数的极值和单调区间；

（2）若在区间上至少存在一点，使得成立，求实数的取值范围．

Answer 1

【答案】（1）的极小值为，的单调递增区间为，单调递减区间为；（2）.

【解析】

试题分析：（1）当，由此求得时，有极小值为，的单调递增区间为，单调递减区间为；（2），令，得到，若在区间上存在一点，使得成立，即在区间上的最小值小于.对分成，，三类进行分类讨论，由此求得实数的取值范围．

试题解析：

（1）当，令，得，

又的定义域为，由得，由，得，

所以时，有极小值为1，

的单调递增区间为，单调递减区间为．．．．．．．．．．．．．．．．5分

（2），且，令，得到，若在区间上存在一点，使得成立，即在区间上的最小值小于0．

当，即时，恒成立，即在区间上单调递减，

故在区间上的最小值为，

由，得，即．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．8分

当，即时，

①，则对成立，所以在区间上单调递减，

则在区间上的最小值为，

显然，在区间上的最小值小于0不成立，

②若，即时，则有

		0
		极小值

所以在区间上的最小值，

由得，解得，即，

综上，由①②可知：．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分