Question

【题目】已知抛物线， 是焦点，直线是经过点的任意直线．

（Ⅰ）若直线与抛物线交于、两点，且（是坐标原点， 是垂足），求动点的轨迹方程；

（Ⅱ）若、两点在抛物线上，且满足，求证：直线必过定点，并求出定点的坐标．

Answer 1

【答案】所求动点M的轨迹方程是 ()．

直线CD的方程可化为． 直线CD恒过定点，且定点坐标为(2，0)．

【解析】(本题满分12分)本题共有2个小题，第1小题满分5分，第2小题满分7分．

解 (1) 设动点M的坐标为． …………………1分

∵抛物线的焦点是，直线l恒过点F，且与抛物线交于两点A、B，

又，

∴． …………………3分

∴，化简，得． …………………5分

又当M与原点重合时，直线l与x轴重合，故．

∴所求动点M的轨迹方程是 ()．

(2) 设点C、D的坐标为、． …………………………6分

∵C、D在抛物线上，

∴， ，即， ．

又，

∴． ………8分

∵点C、D的坐标为、，

∴直线CD的一个法向量是，可得直线CD的方程为：

，化简，得

，进一步用，有

．

又抛物线上任两点的纵坐标都不相等，即．

∴直线CD的方程可化为． ………………………10分

∴直线CD恒过定点，且定点坐标为(2，0)． ………………………12分