Question

【题目】已知数列的前项和．

（1）计算，，，；

（2）猜想的表达式，并用数学归纳法证明你的结论．

Answer 1

【答案】（1）依题设可得，，，；

（2）猜想：．

证明：①当时，猜想显然成立．

②假设时，猜想成立，

即．那么，当时，，即．

又，所以，

从而．即时，猜想也成立．

故由①和②，可知猜想成立．

【解析】试题分析：（1）采用赋值法，令，,先求，时，，求，然后令和时，分别求和；（2）根据（1）的结果，将前4项写成，，，，观察前4项的形式，猜想，最后按数学归纳法证明.

试题解析：（1）依题设可得，，，

（2）猜想：．

证明：①当n=1时，猜想显然成立．

②假设n=k（）时，猜想成立，即．

那么，当n=k+1时，， 即．

又， 所以，

从而．

即n=k+1时，猜想也成立． 故由①和②，可知猜想成立．