Question

如图所示，在四边形ABCD中，AB⊥DA，CE=

7

，∠ADC=

2π

3

；E为AD边上一点，DE=1，EA=2，∠BEC=

π

3

（Ⅰ）求sin∠CED的值；
（Ⅱ）求BE的长．

Answer 1

考点：余弦定理,正弦定理

专题：计算题,解三角形

分析：（Ⅰ）设∠CED=α．在△CED中，由余弦定理，可解得CD=2，在△CED中，由正弦定理可解得sin∠CED的值．
（Ⅱ）由题设知α∈（0，

π

3

），先求cosα=

2 7

7

，而∠AEB=

2π

3

-α，即可求cos∠AEB=cos（

2π

3

-α）的值．

解答： （本小题共13分）
解：（Ⅰ）设∠CED=α．在△CED中，由余弦定理，得
CE²=CD²+DE²-2CD×DE×cos∠CDE，…（2分）
得CD²+CD-6=0，解得CD=2（CD=-3舍去）．…（4分）
在△CED中，由正弦定理，得sin∠CED=

21

7

．…（6分）
（Ⅱ）由题设知α∈（0，

π

3

），所以cosα=

2 7

7

，…（8分）
而∠AEB=

2π

3

-α，
所以cos∠AEB=cos（

2π

3

-α）
=cos

2π

3

cosα+sin

2π

3

sinα
=-

1

2

cosα+

3

2

sinα
=-

1

2

×

2 7

7

+

3

2

×

21

7

=

7

14

．…（11分）
在Rt△EAB中，BE=

2

cos∠AEB

=4

7

．…（13分）

点评：本题主要考查了余弦定理，正弦定理的综合应用，综合性较强，属于中档题．