Question

（本小题满分12分）
已知椭圆的离心率为，定点，椭圆短轴的端点是，，且.
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）设过点且斜率不为的直线交椭圆于，两点.试问轴上是否存在定点，使平分？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由.

Answer 1

(1)  (2)

试题分析：（Ⅰ）解：由 ， 得 .
依题意△是等腰直角三角形，从而，故.
所以椭圆的方程是. 
（Ⅱ）解：设，，直线的方程为.  
将直线的方程与椭圆的方程联立，
消去得 .
所以 ，. 
若平分，则直线，的倾斜角互补，
所以.
设，则有 .
将 ，代入上式，
整理得 ，
所以 . 
将 ，代入上式，
整理得 . 
由于上式对任意实数都成立，所以 .
综上，存在定点，使平分.
点评：解决的关键是对于直线与椭圆的位置关系的联立方程组，设而不求的代数思想来解决解析几何的本质，属于基础题。