Question

正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱长为1，P、Q分别是正方形AA₁D₁D和A₁B₁C₁D₁的中心．
（1）证明：PQ∥平面DD₁C₁C；
（2）求线段PQ的长；
（3）求PQ与平面AA₁D₁D所成的角．

Answer 1

分析：（1）直接由三角形中位线定理得线线平行，从而得线面平行；
（2）直接由三角形中位线等于底边的一半得答案；
（3）由PQ∥DC₁，∴PQ、DC₁与平面AA₁D₁D所成的角相等，而DC₁与平面AA₁D₁D所成的角为∠C₁DD₁=45°，则答案可求．

解答：（1）证明：如图，
连接A₁C₁，DC₁，则Q为A₁C₁的中点，
∴PQ∥DC₁，且PQ=

1

2

DC₁，
∴PQ∥平面DD₁C₁C；
（2）解：∵正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱长为1，
∴DC1=

2

，
∴PQ=

1

2

DC₁=

2

2

；
（3）解：∵PQ∥DC₁，∴PQ、DC₁与平面AA₁D₁D所成的角相等，
∵DC₁与平面AA₁D₁D所成的角为∠C₁DD₁=45°，
∴PQ与平面AA₁D₁D所成的角为45°．

点评：本题考查了直线与平面平行的判定，考查了线面角的计算，训练了空间中点线面间的距离的计算，是中档题．