Question

设函数f（x）=clnx+

1

2

x²+bx（b，c∈R，c≠0），且x=1为f（x）的极值点．
（Ⅰ）若x=1为f（x）的极大值点，求f（x）的单调区间（用c表示）；
（Ⅱ）若f（x）=0恰有两解，求实数c的取值范围．

Answer 1

分析：（Ⅰ利用x=1为f（x）的极大值点，得到f'（1）=0，然后利用导数研究f（x）的单调区间（用c表示）；
（Ⅱ）分别讨论c的取值，讨论极大值和极小值之间的关系，从而确定c的取值范围．

解答：解：f′(x)=

c

x

+x+b=

x2+bx+c

x

，
∵x=1为f（x）的极值点，
∴f'（1）=0，
∴f′(x)=

(x-1)(x-c)

x

且c≠1，b+c+1=0．
（I）若x=1为f（x）的极大值点，
∴c＞1，
当0＜x＜1时，f'（x）＞0；
当1＜x＜c时，f'（x）＜0；
当x＞c时，f'（x）＞0．
∴f（x）的递增区间为（0，1），（c，+∞）；递减区间为（1，c）．
（II）①若c＜0，则f（x）在（0，1）上递减，在（1，+∞）上递增，
f（x）=0恰有两解，则f（1）＜0，即

1

2

+b＜0，∴-

1

2

＜c＜0；
②若0＜c＜1，则f极大(x)=f(c)=clnc+

1

2

c2b+c，
f 极小(x)=f(1)=

1

2

+b，
∵b=-1-c，
则f极大(x)=clnc+

1

2

c2+c(-1-c)=clnc-c-

1

2

c2＜0，
f 极小(x)=-

1

2

-c，从而f（x）=0只有一解；
③若c＞1，则f极小(x)=clnc+

1

2

c2+c(-1-c)=clnc-c-

1

2

c2＜0，
f极大(x)=-

1

2

-c，则f（x）=0只有一解．
综上，使f（x）=0恰有两解的c的范围为：-

1

2

＜c＜0．

点评：本题主要考查利用导数研究函数的极值和单调性，考查学生的计算能力，以及分类讨论思想．