Question

设函数f（x）=ax²+bx+clnx，（其中a，b，c为实常数且a＞0），曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为y=3x-3．
（Ⅰ） 若函数f（x）无极值点且f'（x）存在零点，求a，b，c的值；
（Ⅱ） 若函数f（x）有两个极值点，证明f（x）的极小值小于-

3

4

．

Answer 1

分析：（Ⅰ）求导函数，利用曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为y=3x-3，建立方程组，根据即f（x）无极值点且f'（x）存在零点，可求a的值，进而可求b，c的值；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知f ′(x)=

2ax2-ax+3-a

x

 (x＞0)，要使函数f（x）有两个极值点，只要方程2ax²-ax+3-a=0有两个不等正根，可得a的范围，设两正根为x₁，x₂，且x₁＜x₂，可知当x=x₂时，有极小值f（x₂），证明f（x₂）在(

1

4

，

1

2

)上单调递增，即可证得结论．

解答：（Ⅰ）解：求导函数可得f ′(x)=2ax+b+

c

x

，
由曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为y=3x-3，可得得

f(1)=0 f ′(1)=3

，
即

a+b=0 2a+b+c=3

，∴

b=-a c=3-a

．
此时f（x）=ax²-ax+（3-a）lnx，f ′(x)=2ax-a+

3-a

x

=

2ax2-ax+3-a

x

；
由f（x）无极值点且f'（x）存在零点，得a²-8a（3-a）=0（a＞0）
解得a=

8

3

，于是b=-

8

3

，c=-

1

3

．…（7分）
（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）知f ′(x)=

2ax2-ax+3-a

x

 (x＞0)，要使函数f（x）有两个极值点，只要方程2ax²-ax+3-a=0有两个不等正根，
那么实数a应满足 

a2-8a(3-a)＞0 3-a＞0 a 2(2a) ＞0

，解得

8

3

＜a＜3，
设两正根为x₁，x₂，且x₁＜x₂，可知当x=x₂时，有极小值f（x₂）．
其中这里0＜x1＜

1

4

，由于对称轴为x=

1

4

，所以

1

4

＜x2＜

1

2

，且2ax22-ax2+3-a=0，得a=

-3

2x22-x2-1

记g（x）=x²-x-lnx，(

1

4

＜x≤1)，有g′(x)=

(2x+1)(x-1)

x

≤0对x∈(

1

4

，1]恒成立，
又g（1）=0，故对x∈(

1

4

，

1

2

)恒有g（x）＞g（1），即g（x）＞0．
所以有f(x2)=ax22-ax2+(3-a)lnx2=a(x22-x2-lnx2)+3lnx2=3lnx2-

3(x22-x2-lnx2)

2x22-x2-1

(

1

4

＜x2＜

1

2

)
而f ′(x2)=

(4x2-1)(x22-x2-lnx2)

(2x22-x2-1)2

＞0对于

1

4

＜x2＜

1

2

恒成立，
即f（x₂）在(

1

4

，

1

2

)上单调递增，故f(x2)＜f(

1

2

)=-

3

4

．…（15分）

点评：本题考查导数知识的运用，考查导数的几何意义，考查函数的单调性，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．