Question

（2010•邯郸二模）设函数f（x）=lnx-

a(x-1)

x+1

（a∈R）．
（Ⅰ）若函数f（x）在其定义域内是增函数，求a的取值范围；
（Ⅱ）设G（x）=x²-bx+2-clnx（c＞0），方程G（x）=0有两根x₁，x₂，记x₀=

x1+x2

2

．试探究G′（x₀）值的符号，其中G′（x）是G（x）的导函数．

Answer 1

分析：（Ⅰ）求出f（x）的定义域，由f（x）在定义域（0，+∞）上为单调增函数，得f′（x）≥0在（0，+∞）上恒成立，分离出参数a后转化为求函数的最值即可解决；
（Ⅱ）易知G（x）的定义域为（0，+∞），不妨设0＜x₁＜x₂，分别代入G（x）=0，得x₁²-bx₁+2-clnx₁=0，x₂²-bx₂+2-clnx₂=0，两式作差并变形得，x₂+x₁-b=c•

lnx2-lnx1

x2-x1

，先证明

lnx2-lnx1

x2-x1

＞

2

x2+x1

，利用分析法及（I）的结论可证得，从而x₂+x₁-b=c•

lnx2-lnx1

x2-x1

可化为关于x₀的不等式，由此可得G′（x₀）的符号；

解答：解：（I）f（x）的定义域为（0，+∞），
f′（x）=

1

x

-

a(x+1)-a(x-1)

(x+1)2

=

x2+(2-2a)x+1

x(x+1)2

，
∵f（x）在定义域（0，+∞）上为单调增函数，
∴f′（x）≥0在（0，+∞）上恒成立，即x²+（2-2a）x+1≥0在（0，+∞）上恒成立，
当x∈（0，+∞）时，由x²+（2-2a）x+1≥0，得：2a-2≤x+

1

x

，
设g（x）=x+

1

x

，x∈（0，+∞），
则g（x）=x+

1

x

≥2

x• 1 x

=2，当且仅当x=

1

x

即x=1时，g（x）有最小值2，
∴2a-2≤2，解得a≤2，
∴a的取值范围是（-∞，2]；
（Ⅱ）易知G（x）的定义域为（0，+∞），
∵方程G（x）=0有两根x₁，x₂，（不妨设0＜x₁＜x₂），
∴x₁²-bx₁+2-clnx₁=0，x₂²-bx₂+2-clnx₂=0，
两式作差，得x₂²-x₁²-b（x₂-x₁）-c（lnx₂-lnx₁）=0，
两边同除以x₂-x₁，得x₂+x₁-b-c•

lnx2-lnx1

x2-x1

=0，即x₂+x₁-b=c•

lnx2-lnx1

x2-x1

，
下面证明：

lnx2-lnx1

x2-x1

＞

2

x2+x1

，
要证

lnx2-lnx1

x2-x1

＞

2

x2+x1

，只需证

ln x2 x1

x2 x1 -1

＞

2

x2 x1 +1

，即证ln

x2

x1

＞

2•( x2 x1 -1)

x2 x1 +1

，即证ln

x2

x1

-

2•( x2 x1 -1)

x2 x1 +1

＞0，
设h（x）=lnx-

2(x-1)

x+1

，
由（I）知h（x）在（1，+∞）上是单调增函数，
又

x2

x1

＞1，∴h（

x2

x1

）＞h（1）=0，即ln

x2

x1

-

2•( x2 x1 -1)

x2 x1 +1

＞0成立，
得到

lnx2-lnx1

x2-x1

＞

2

x2+x1

．
∵x₀=

x1+x2

2

，∴

lnx2-lnx1

x2-x1

＞

1

x0

，
又c＞0，∴x₂+x₁-b=c•

lnx2-lnx1

x2-x1

＞

c

x0

，即2x₀-b＞

c

x0

，
∴

2x02-bx0-c

x0

＞0，
∵G′（x）=2x-b-

c

x

=

2x2-bx-c

x

，
∴G′（x₀）=

2x02-bx0-c

x0

＞0，即G′（x₀）值的符号为正．

点评：本题主要考查了学生会利用导函数的正负确定函数的单调区间，掌握不等式恒成立时所满足的条件，会利用基本不等式求函数的最小值，是一道中档题．