Question

14．函数f（x）=$\sqrt{2}$sin（2ωx+$\frac{π}{4}$）+2（x∈R，ω＞0）的最小值正周期是$\frac{π}{2}$
（Ⅰ）求ω的值及函数f（x）的单调递增区间；
（Ⅱ）求函数f（x）的最大值，并且求使f（x）取得最大值时的x的集合．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根据函数f（x）的最小值正周期求出ω的值，再根据正弦函数的单调性求f（x）的单调递增区间；
（Ⅱ）根据正弦函数的图象与性质，求出f（x）的最大值以及取最大值时x的取值集合．

解答 解：（Ⅰ）函数f（x）=$\sqrt{2}$sin（2ωx+$\frac{π}{4}$）+2的最小值正周期是
T=$\frac{2π}{2ω}=\frac{π}{2}$，
解得ω=2； …（2分）
令$-\frac{π}{2}+2kπ≤4x+\frac{π}{4}≤\frac{π}{2}+2kπ，k∈Z$，
解得-$\frac{3π}{16}$+$\frac{kπ}{2}$≤x≤$\frac{π}{16}$+$\frac{kπ}{2}$，k∈Z；   …（5分）
所以函数f（x）的单调递增区间为[-$\frac{3π}{16}$+$\frac{kπ}{2}$，$\frac{π}{16}$+$\frac{kπ}{2}$]，k∈Z；   …（6分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，$f（x）=\sqrt{2}sin（{4x+\frac{π}{4}}）+2$，
当$4x+\frac{π}{4}=\frac{π}{2}+2kπ$，即$x=\frac{π}{16}+\frac{kπ}{2}（{k∈Z}）$时，
$sin（{4x+\frac{π}{4}}）$取得最大值1，…（10分）
所以f（x）的最大值是$2+\sqrt{2}$，
此时x∈$\left\{{x|x=\frac{π}{16}+\frac{kπ}{2}，k∈Z}\right\}$．  …（12分）

点评 本题考查了三角函数的图象与性质的应用问题，是中档题．