题目内容
15．若对于任意实数x，恒有${x^5}={a_0}+{a_1}（x+2）+{a_2}{（x+2）^2}+…+{a_5}{（x+2）^5}$成立，则a3=40，a0+a1+a2+a4+a5=-41．分析 x5=（x+2-2）5=（-2）5+${∁}_{5}^{1}（-2）^{4}（x+2）$+${∁}_{5}^{2}（-2）^{3}（x+2）^{2}$+${∁}_{5}^{3}（-2）^{2}（x+2）^{3}$+${∁}_{5}^{4}（-2）（x+2）^{4}$+（x+2）5．可得a3=$（-2）^{2}{∁}_{5}^{3}$．令x=-1，可得-1=a0+a1+a2+a3+a4+a5，即可得出．
解答 解：x5=（x+2-2）5=（-2）5+${∁}_{5}^{1}（-2）^{4}（x+2）$+${∁}_{5}^{2}（-2）^{3}（x+2）^{2}$+${∁}_{5}^{3}（-2）^{2}（x+2）^{3}$+${∁}_{5}^{4}（-2）（x+2）^{4}$+（x+2）5．
则a3=$（-2）^{2}{∁}_{5}^{3}$=40．
令x=-1，可得-1=a0+a1+a2+a3+a4+a5，
∴a0+a1+a2+a4+a5=-1-a3=-41．
故答案为：40，-41．
点评 本题考查了二项式定理的应用、方程的思想方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
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