Question

直四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，底面ABCD是等腰梯形，AB∥CD，AB=2AD=2DC=2，E为BD₁的中点，F为AB中点．
（1）求证：EF∥平面ADD₁A₁；
（2）若，求A₁F与平面DEF所成角的正弦值．

Answer 1

【答案】分析：（1）连接AD₁，利用三角形中位线定理证明EF∥AD₁，最后利用线面平行的判定定理证明EF∥平面ADD₁A₁即可；
（2）以D为原点，以DC所在直线为y轴，DD₁为z轴建立空间直角坐标系，写出相关点的坐标，求平面DEF的一个法向量，则线面所成角的正弦值就是斜线和法向量夹角的余弦的绝对值
解答：解：（1）证明：连接AD₁，在△ABD₁中
∵E是BD₁的中点，F是BA中点，
∴EF∥AD₁
又EF?平面ADD₁A₁，AD₁?平面ADD₁A₁
∴EF∥平面ADD₁A₁．
（2）建立如图所示的空间直角坐标系D-xyzz（DG为AB边上的高）
则有A₁（，-，），F（，，0），D₁（0，0，），
B（，，0），
∴E（ ，， ），
设平面DEF的一个法向量为n=（x，y，z），
由，得
取x=1解得∴法向量
∵=（0，1，-），
设A₁F与平面DEF所成的角为θ，则
=
∴A₁F与平面DEF所成角的正弦值为．
点评：本题主要考查了线面平行的判定定理及其应用，直线与平面所成角的算法，空间直角坐标系及空间向量在解决立体几何问题中的应用，有一定的运算量