题目内容
如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，作AA1⊥BC，A1A2⊥AB，A2A3⊥BC，A3A4⊥AB，A4A5⊥BC，A5A6⊥AB，A6A7⊥BC，A1，A2，A3，A4，A5，A6，A7分别为垂足：（1）△CAA1，△A1A2A3，△A3A4A5，△A5A6A7的周长和面积是否分别成等比数列？试给出证明．
（2）若AB=4，BC=5，分别求出（1）题中4个三角形的周长和△A1A2A3的面积．
（3）如果把题设中的作法一直进行下去，并把所得类同于（1）题中的4个三角形的所有三角形的面积从大到小排成一个数列{Sn}，设AB=c，AC=b，求{Sn}的通项公式和△A11A12A13的面积．
【答案】分析：（1）要证明）△CAA1，△A1A2A3，△A3A4A5，△A5A6A7的周长和面积是否分别成等比数列，可以先证明它们依次两两为相似三角形，且相似比相等．（2）根据（1）的结论，结合勾股定理和射影定理依次求解；（3）根据（1）的结论，可求出数列的通项公式，再由通项公式，进行解答．
解答：解：（1）设AB=c，AC=b，BC=a
由射影定理易得：AA1=
故：
=
同理可证明：
=
依此类推下去，我们可以得到：
=
=
=…=
=
则△CAA1∽△A1A2A3，△A1A2A3∽△A3A4A5，△A3A4A5∽△A5A6A7，…且相似比均为
根据相似三角形的性质，周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方，我们可得：
①△CAA1，△A1A2A3，△A3A4A5，△A5A6A7，…的周长成公比为
的等比数列；
②△CAA1，△A1A2A3，△A3A4A5，△A5A6A7，…的面积成公比为
的等比数列．
（2）若AB=4，BC=5，则AC=3，则△ABC的周长为12，面积为6
此时，△CAA1，△A1A2A3，△A3A4A5，△A5A6A7，…的周长成公比为
的等比数列；
则：△CAA1的周长为
，△A1A2A3的周长为
，△A3A4A5的周长为
，△A5A6A7的周长为
又∵△CAA1，△A1A2A3，△A3A4A5，△A5A6A7，…的面积成公比为
的等比数列
则：△CAA1的面积为
（3）AB=c，AC=b，则S1=S△CAA1=
bc，公比q=
则：Sn=
bc（
）n-1
当n=12时，S12=S△A11A12A13=
bc（
）11
点评：本题主要考查的知识点是相似的性质及数列的应用，根据相似三角形中，对应线长度之比等于相似比，对应面积之比等于相似比的平方，是解决本题的核心知识点．
解答：解：（1）设AB=c，AC=b，BC=a
由射影定理易得：AA1=
故：
=同理可证明：
=依此类推下去，我们可以得到：
===…==则△CAA1∽△A1A2A3，△A1A2A3∽△A3A4A5，△A3A4A5∽△A5A6A7，…且相似比均为
根据相似三角形的性质，周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方，我们可得：
①△CAA1，△A1A2A3，△A3A4A5，△A5A6A7，…的周长成公比为
的等比数列；②△CAA1，△A1A2A3，△A3A4A5，△A5A6A7，…的面积成公比为
的等比数列．（2）若AB=4，BC=5，则AC=3，则△ABC的周长为12，面积为6
此时，△CAA1，△A1A2A3，△A3A4A5，△A5A6A7，…的周长成公比为
的等比数列；则：△CAA1的周长为
，△A1A2A3的周长为，△A3A4A5的周长为，△A5A6A7的周长为又∵△CAA1，△A1A2A3，△A3A4A5，△A5A6A7，…的面积成公比为
的等比数列则：△CAA1的面积为
（3）AB=c，AC=b，则S1=S△CAA1=
bc，公比q=则：Sn=
bc（）n-1当n=12时，S12=S△A11A12A13=
bc（）11点评：本题主要考查的知识点是相似的性质及数列的应用，根据相似三角形中，对应线长度之比等于相似比，对应面积之比等于相似比的平方，是解决本题的核心知识点．
练习册系列答案
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如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，D为BC上一点，∠DAC=30°，BD=2，AB=2| 3 |
A、2
| ||||
| B、3 | ||||
C、
| ||||
D、
|
如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，以AC为直径的⊙O与AB边交于点D，过点D作⊙O的切线，交BC于点E．
如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，BA=BC=2，AE⊥平面ABC，CD⊥平面ABC，CE交AD于点P．
8．如图，在Rt△ABC中，∠CAB=90°，AB=2，AC=
如图，在Rt△ABC中，AC=1，BC=x，D是斜边AB的中点，将△BCD沿直线CD翻折，若在翻折过程中存在某个位置，使得CB⊥AD，则x的取值范围是（ ）A、（0，
| ||||
B、（
| ||||
C、（
| ||||
| D、（2，4] |