题目内容

(1)求证:点E是边BC的中点;
(2)若EC=3,BD=2
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分析:(1)利用EC为⊙O的切线,ED也为⊙O的切线可求EC=ED,再求得EB=EC,EB=ED可知点E是边BC的中点;
(2)解答此题需要运用圆切线和割线的性质和勾股定理求解.
(2)解答此题需要运用圆切线和割线的性质和勾股定理求解.
解答:
证明:(1)连接DO;
∵∠ACB=90°,AC为直径,
∴EC为⊙O的切线;
又∵ED也为⊙O的切线,
∴EC=ED,
又∵∠EDO=90°,
∴∠BDE+∠ADO=90°,
∴∠BDE+∠A=90°°
又∵∠B+∠A=90°,
∴∠BDE=∠B,
∴EB=ED,
∴EB=EC,即点E是边BC的中点;
(2)∵BC,BA分别是⊙O的切线和割线,
∴BC2=BD•BA,
∴(2EC)2=BD•BA,即BA•2
=36,
∴BA=3
,
在Rt△ABC中,由勾股定理得
AC=
=
=3
.

∵∠ACB=90°,AC为直径,
∴EC为⊙O的切线;
又∵ED也为⊙O的切线,
∴EC=ED,
又∵∠EDO=90°,
∴∠BDE+∠ADO=90°,
∴∠BDE+∠A=90°°
又∵∠B+∠A=90°,
∴∠BDE=∠B,
∴EB=ED,
∴EB=EC,即点E是边BC的中点;
(2)∵BC,BA分别是⊙O的切线和割线,
∴BC2=BD•BA,
∴(2EC)2=BD•BA,即BA•2
6 |
∴BA=3
6 |
在Rt△ABC中,由勾股定理得
AC=
AB2-BC2 |
(3
|
2 |
点评:本题考查了圆的切线性质,及解直角三角形的知识.运用切线的性质来进行计算或论证,常通过作辅助线连接圆心和切点,利用垂直构造直角三角形解决有关问题.

练习册系列答案
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A、2
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B、3 | ||||
C、
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D、
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A、(0,
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B、(
| ||||
C、(
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D、(2,4] |