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精英家教网如图,在Rt△ABC中,AC=1,BC=x,D是斜边AB的中点,将△BCD沿直线CD翻折,若在翻折过程中存在某个位置,使得CB⊥AD,则x的取值范围是(  )
A、(0,
3
]
B、(
2
2
,2]
C、(
3
,2
3
]
D、(2,4]
分析:由已知条件推导出,AD=CD=BD=
x2+1
2
,BC=x,取BC中点E,翻折前DE=
1
2
AC=
1
2
,翻折后AE=
1-
1
4
x2
,AD=
x2+1
2
,从而求出0<x<
3
.翻折后,当△B1CD与△ACD在一个平面上,∠A=60°,BC=ACtan60°,此时x=1×
3
=
3
,由此能求出x的取值范围为(0,
3
].
解答:解:由题意得,AD=CD=BD=
x2+1
2
,BC=x,取BC中点E,
翻折前,在图1中,连接DE,CD,则DE=
1
2
AC=
1
2
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翻折后,在图2中,此时 CB⊥AD.
∵BC⊥DE,BC⊥AD,∴BC⊥平面ADE,
∴BC⊥AE,DE⊥BC,
又BC⊥AE,E为BC中点,∴AB=AC=1,
∴AE=
1-
1
4
x2
,AD=
x2+1
2

在△ADE中:①
x2+1
2
+
1
2
1-
1
4
x2
,②
x2+1
2
1
2
+
1-
1
4
x2
,③x>0;
由①②③可得0<x<
3

如图3,翻折后,当△B1CD与△ACD在一个平面上,
AD与B1C交于M,且AD⊥B1C,AD=B1D=CD=BD,∠CBD=∠BCD=∠B1CD,
又∠CBD+∠BCD+∠B1CD=90°,
∴∠CBD=∠BCD=∠B1CD=30°,
∴∠A=60°,BC=ACtan60°,此时x=1×
3
=
3

综上,x的取值范围为(0,
3
],
故选:A.
点评:本题考查线段长的取值范围的求法,要熟练掌握翻折问题的性质,注意培养空间思维能力.
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