Question

19．设椭圆$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）与x轴交于点A，以OA为边作等腰三角形OAP，其顶点P在椭圆上，且∠OPA=120°．则椭圆的离心率e=$\frac{2\sqrt{2}}{3}$．

Answer 1

分析 把x=$\frac{a}{2}$代入椭圆方程可得：$\frac{{a}^{2}}{4{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1，解得：y，取P$（\frac{a}{2}，\frac{\sqrt{3}}{2}b）$．利用$\frac{\frac{\sqrt{3}}{2}b}{\frac{a}{2}}=tan3{0}^{°}$，化简利用离心率计算公式即可的得出．

解答 解：把x=$\frac{a}{2}$代入椭圆方程可得：$\frac{{a}^{2}}{4{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1，解得：y=$±\frac{\sqrt{3}}{2}b$，取P$（\frac{a}{2}，\frac{\sqrt{3}}{2}b）$．
则$\frac{\frac{\sqrt{3}}{2}b}{\frac{a}{2}}=tan3{0}^{°}$=$\frac{1}{\sqrt{3}}$，化为：a=3b．
∴椭圆的离心率e=$\frac{c}{a}$=$\sqrt{1-\frac{{b}^{2}}{{a}^{2}}}$=$\frac{2\sqrt{2}}{3}$．
故答案为：$\frac{2\sqrt{2}}{3}$．

点评 本题考查了椭圆的标准方程及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．