Question

在△ABC中，D在BC边上，满足BD=2DC，cos∠BAD=

2 5

5

，cos∠CAD=

3 10

10

，AD=3，则AB=

 

．

Answer 1

考点：余弦定理,正弦定理

专题：三角函数的求值

分析：如图，作BE∥AC交AD延长线于E点，则△ACD∽△EBD，相似比为2，易得DE=2AD，故AE=9，在三角形ABE中，利用锐角三角函数定义求出cos∠BAE与cosE的值，进而求出sin∠BAE与sin∠E，利用两角和与差的正弦函数公式化简sin∠ABE=sin（∠BAE+∠E），求出sin∠ABE的值，再利用正弦定理即可求出AB的长．

解答： 解：如图，作BE∥AC交AD延长线于E点，则△ACD∽△EBD，相似比为2，
易得DE=2AD，故AE=9，
在△ABE中，cos∠BAE=

2 5

5

，cos∠E=cos∠CAD=

3 10

10

，
则sin∠BAE=

5

5

，sin∠E=

10

10

，
∴sin∠ABE=sin（∠BAE+∠E）=sin∠BAEcos∠E+cos∠BAEsin∠E=

5

5

×

3 10

10

+

2 5

5

×

10

10

=

2

2

，
由正弦定理得：

AB

sin∠E

=

AE

sin∠ABE

，即AB=

AEsin∠E

sin∠ABE

=

9× 10 10

2 2

=

9 5

5

．
故答案为：

9 5

5

点评：此题考查了正弦、余弦定理，同角三角函数间的基本关系，熟练掌握定理是解本题的关键．