Question

【题目】某海警基地码头O的正东方向40海里处有海礁界碑M，过点M且与OM成（即北偏西）的直线l在在此处的一段为领海与公海的分界线（如图所示），在码头O北偏东方向领海海面上的A处发现有一艘疑似走私船（可疑船）停留. 基地指挥部决定在测定可疑船的行驶方向后，海警巡逻艇从O处即刻出发，按计算确定方向以可疑船速度的2倍航速前去拦截，假定巡逻艇和可疑船在拦截过程中均未改变航向航速，将在P处恰好截获可疑船.

（1）如果O和A相距6海里，求可疑船被截获处的点P的轨迹；

（2）若要确保在领海内捕获可疑船（即P不能在公海上）．则、之间的最大距离是多少海里？

Answer 1

【答案】（1）轨迹是以(4，4)为圆心，4为半径的圆；(2) 15(－1)

【解析】

（1）由题意知点A坐标，设点P（x，y），利用|OP|=2|AP|列方程求得点P的轨迹方程；（2）求得直线l的方程，设|OA|=t、点P（x，y），利用|OP|=2|AP|求得点P的轨迹方程，利用点到直线的距离列不等式求出O、A间的最远距离．

解：（1）设可疑船能被截获的点为P(x，y)，由题意得OP=2AP，OA=6 (海里)，∠ AOx=，点A的坐标(3，3)，则有

化简得(x－4)2+(y－4)2=16，轨迹是以(4，4)为圆心，4为半径的圆．

（2）设点A的坐标(t，t)，t＞0，可疑船被截获处的点为P(x，y)，

由题意得OP=2AP，即有，化简得 因为M(40，0)，l的倾斜角，因此直线方程为l：x+y－40=0．由题意，点A在领海内，因此t+t－40＜0．即0＜t＜ ．P的轨迹与直线没有公共点，则轨迹圆心到分界线距离 ，即 |t－5|＞，解之得t＞ (不合，舍去)或0＜t＜．又因为OA=2t，因此OA的最大距离为15(－1)(海里)．