Question

【题目】已知点,,直线与直线相交于点,直线与直线的斜率分别记为与,且．

（1）求点的轨迹的方程；

（2）过定点作直线与曲线交于两点, 的面积是否存在最大值？若存在,求出面积的最大值；若不存在,请说明理由．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）面积的最大值为．

【解析】

试题（Ⅰ）本题求轨迹方程，采用直接法，只要设动点坐标为，求出斜率，由化简可得，注意斜率存在时，最后方程中要剔除此点；（Ⅱ）假设存在，首先直线斜率存在，可设其方程为，与椭圆方程联立整理为关于的一元二次方程，同时设交点为，由可得，而，这样可把表示为的函数，可由基本不等式知识求得最大值．

试题解析：（Ⅰ）设，则，

所以所以（未写出范围扣一分）

（Ⅱ）由已知当直线的斜率存在，设直线的方程是，

联立，消去得，

因为，所以，

设，

当且仅当时取等号，面积的最大值为．