Question

【题目】已知函数f（x）=sinωx+cosωx（ω＞0），x∈R，若函数f（x）在区间（﹣ω，ω）内单调递增，且函数y=f（x）的图象关于直线x=ω对称，则ω的值为 ．

Answer 1

【答案】
【解析】解：∵f（x）=sinωx+cosωx= sin（ωx+ ）， ∵函数f（x）在区间（﹣ω，ω）内单调递增，ω＞0
∴2kπ﹣ ≤ωx+ ≤2kπ+ ，k∈Z可解得函数f（x）的单调递增区间为：[ ， ]，k∈Z，
∴可得：﹣ω≥ ①，ω≤ ②，k∈Z，
∴解得：0＜ω2≤ 且0＜ω2≤2k ，k∈Z，
解得：﹣ ，k∈Z，
∴可解得：k=0，
又∵由ωx+ =kπ+ ，可解得函数f（x）的对称轴为：x= ，k∈Z，
∴由函数y=f（x）的图象关于直线x=ω对称，可得：ω2= ，可解得：ω= ．
故答案为： ．
由两角和的正弦函数公式化简解析式可得f（x）= sin（ωx+ ），由2kπ﹣ ≤ωx+ ≤2kπ+ ，k∈Z可解得函数f（x）的单调递增区间，结合已知可得：﹣ω≥ ①，ω≤ ②，k∈Z，从而解得k=0，又由ωx+ =kπ+ ，可解得函数f（x）的对称轴为：x= ，k∈Z，结合已知可得：ω2= ，从而可求ω的值．