Question

(本题满分18分）本题共3小题，第（1）小题6分，第（2）小题6分，第（3）小题6分.

已知函数.

（1）指出的基本性质（结论不要求证明）并作出函数的图像；

（2）关于的不等式恒成立，求实数的取值范围；

（3）关于的方程（）恰有6个不同的实数解，求的取值范围.

Answer 1

（1）见图象，（2），（3）

【解析】

试题分析：明确绝对值的含义，首先化简绝对值符号，当时，，，则，，，同理：当，，当 时，，当时，，求出的解析式，画出函数在每一段的图象，可以看出函数函数是偶函数，数形结合后，写出单调区间及最值；第二步先用换元法令，把不等式后，先求的最大值，然后写出的范围；第三步先观察的图象可知，关于的方程（）恰有6个不同的实数解即有6个不同的解，要使方程有6个不同实根，只需，，这时只需研究一元二次方程的根的分布问题即可，何时一元二次方程的一根为2，另一根在呢？设，首先一根为2满足，另一根在满足，消去求出的取值范围即可 .

试题解析：（1）， ，是偶函数，在区间和上单调递增，在区间和上单调递减，的最大值是，无最小值，值域为

作图如下：

因为关于的不等式恒成立，令，则，即不等式

在上恒成立，当时，,不等式化为，

又

（3）关于的方程（）恰有6个不同的实数解即有6个不同的解，数形结合可知必有和， ，令，则关于的方程有一根为2，另一根在间，

考点：1.含绝对值符号的函数式化为分段函数；2.极端原理；3.数形结合；