Question

已知f（x）=2sin（x+

θ

2

）cos（x+

θ

2

）+2

3

cos²（x+

θ

2

）-

3

（Ⅰ）求 f（x）的最小正周期；
（Ⅱ）设 0≤θ≤π，且函数f（x） 为偶函数，求满足f（x）=1，x∈[0，π]的x的集合．

Answer 1

分析：（I）先利用二倍角公式和两角差的余弦公式，将函数化为y=Acos（ωx+φ）型函数，再利用周期计算公式求其周期即可；
（II）先利用函数的对称性，求得θ的值，再解三角方程即可得x的集合，注意未知数的取值范围

解答：解：（Ⅰ）f(x)=sin(2x+θ)+

3

[2cos2(x+

θ

2

)-1]=sin（2x+θ）+

3

cos（2x+θ）=2cos(2x+θ-

π

6

)
∴f（x）的最小正周期为

2π

2

=π；                       
（Ⅱ）函数f（x） 为偶函数，则θ-

π

6

=kπ，k∈z
∵0≤θ≤π
∴当θ=

π

6

时，f（x）为偶函数．                       
由f（x）=1，得2cos2x=1，所以cos2x=

1

2

，
∵x∈[0，π]，∴2x=

π

3

或2x=

5π

3

∴所求x的集合为{x|x=

π

6

或x=

5π

6

}．

点评：本题主要考查了三角变换公式在三角化简和求值中的应用，y=Acos（ωx+φ）型函数的图象和性质，简单的三角方程的解法，属基础题