题目内容

已知f（x）=2sin（2x+
π
6
）+a+1（a为常数）．
（1）求f（x）的递增区间；
（2）若x∈[0，
π
2
]时，f（x）的最大值为4，求a的值；
（3）求出使f（x）取最大值时x的集合．
分析：（1）由2kπ-
π
2
≤2x+
π
6
≤2kπ+
π
2
，即可求得f（x）的递增区间；
（2）由x∈[0，
π
2
]，可求得
π
6
≤2x+
π
6
≤
7π
6
，从而可求得）2sin（2x+
π
6
）的最大值，再由f（x）的最大值为4可求a的值；
（3）由2x+
π
6
=2kπ+
π
2
即可求出使f（x）取最大值时x的集合．
解答：解：（1）由2kπ-
π
2
≤2x+
π
6
≤2kπ+
π
2
得kπ-
π
3
≤x≤kπ+
π
6
（k∈Z），
所以，递增区间为[kπ-
π
3
，kπ+
π
6
]（k∈Z）；
（2）∵x∈[0，
π
2
]，
∴
π
6
≤2x+
π
6
≤
7π
6
，
∴2sin（2x+
π
6
）的最大值为2，
∵f（x）=2sin（2x+
π
6
）+a+1在∈[0，
π
2
]的最大值为4，
∴a+3=4，
∴a=1．
（3）∵2x+
π
6
=2kπ+
π
2
，
∴x=kπ+
π
6
（k∈Z），
∴f（x）取最大值时x的集合{x|x=kπ+
π
6
，k∈Z}．
点评：本题考查复合三角函数的单调性与三角函数的最值，考查正弦函数的性质，考查分析与运算能力，属于中档题．
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已知f（x）=2sin（2x-
π
6
）-m在x∈[0，
π
2
]上有两个不同的零点，则m的取值范围为
 
．
（2011•孝感模拟）已知f（x）=2sin（ωx+φ）的部分图象如图所示，则f（x）的表达式为（　　）
已知f（x）=2sin（x+
θ
2
）cos（x+
θ
2
）+2
3
cos2（x+
θ
2
）-
3
，若0≤θ≤π，使函数f（x）为偶函数的θ为（　　）
（2012•东莞二模）已知f（x）=2sin（
π
3
x+
π
6
），集合M={x||f（x）|=2，x＞0}，把M中的元素从小到大依次排成一行，得到数列{an}（n∈N*）．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）设数列{bn}满足：b1=1，bn+1=bn+a2n，求{bn}的通项公式．

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